矩阵怎么进行加减(线性代数:矩阵基本运算)

在本文中,我们将介绍矩阵的大部分基本运算,依次是矩阵的加减法、矩阵的标量乘法、矩阵与矩阵的乘法、求转置矩阵,以及深入了解矩阵的行列式运算。本文将不会涉及逆矩阵、矩阵的秩等概念,将来再探讨它们。

矩阵的加减法

矩阵的加法与减法运算将接收两个矩阵作为输入,并输出一个新的矩阵。矩阵的加法和减法都是在分量级别上进行的,因此要进行加减的矩阵必须有着相同的维数。

为了避免重复编写加减法的代码,我们先创建一个可以接收运算函数的方法,这个方法将对两个矩阵的分量分别执行传入的某种运算。然后在加法、减法或者其它运算中直接调用它就行了:

classMatrix{//...componentWiseOperation(func,{rows}){constnewRows=rows.map((row,i)=>row.map((element,j)=>func(this.rows[i][j],element)))returnnewMatrix(...newRows)}add(other){returnthis.componentWiseOperation((a,b)=>a+b,other)}subtract(other){returnthis.componentWiseOperation((a,b)=>a-b,other)}}constone=newMatrix([1,2],[3,4])constother=newMatrix([5,6],[7,8])console.log(one.add(other))//Matrix{rows:[[6,8],[10,12]]}console.log(other.subtract(one))//Matrix{rows:[[4,4],[4,4]]}复制代码

矩阵的标量乘法

矩阵的标量乘法与向量的缩放类似,就是将矩阵中的每个元素都乘上标量:

classMatrix{//...scaleBy(number){constnewRows=this.rows.map(row=>row.map(element=>element*number))returnnewMatrix(...newRows)}}constmatrix=newMatrix([2,3],[4,5])console.log(matrix.scaleBy(2))//Matrix{rows:[[4,6],[8,10]]}复制代码

矩阵乘法

当A、B两个矩阵的维数是兼容的时候,就能对这两个矩阵进行矩阵乘法。所谓维数兼容,指的是A的列数与B的行数相同。矩阵的乘积AB是通过对A的每一行与矩阵B的每一列计算点积得到:


classMatrix{//...multiply(other){if(this.rows[0].length!==other.rows.length){thrownewError('Thenumberofcolumnsofthismatrixisnotequaltothenumberofrowsofthegivenmatrix.')}constcolumns=other.columns()constnewRows=this.rows.map(row=>columns.map(column=>sum(row.map((element,i)=>element*column[i]))))returnnewMatrix(...newRows)}}constone=newMatrix([3,-4],[0,-3],[6,-2],[-1,1])constother=newMatrix([3,2,-4],[4,-3,5])console.log(one.multiply(other))//Matrix{//rows://[[-7,18,-32],//[-12,9,-15],//[10,18,-34],//[1,-5,9]]}复制代码

我们可以把矩阵乘法AB视为先后应用A和B两个线性变换矩阵。为了更好地理解这种概念,可以看一看我们的linear-algebra-demo。

下图中黄色的部分就是对红色方块应用线性变换C的结果。而线性变换C就是矩阵乘法AB的结果,其中A是做相对于 y 轴进行反射的变换矩阵,B是做剪切变换的矩阵。


如果在矩阵乘法中调换A和B的顺序,我们会得到一个不同的结果,因为相当于先应用了B的剪切变换,再应用A的反射变换:


转置

转置矩阵 由公式 定义。换句话说,我们通过关于矩阵的对角线对其进行翻转来得到转置矩阵。需要注意的是,矩阵对角线上的元素不受转置运算影响。

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